乘为四，倍之得为八，退上一位为四尺，以圆径除【“退上一位”句】这里是说弧形的高为二步，圆弧直径为十步，算出的结果是08步，折合为四尺。用筹码来计算，就要去掉一个表示五的筹码，加上一个表示一的筹码，类似于珠算中的“退五上一”。圆径：这里指圆弧的弧长……今圆径十，已足盈数，无可除，只用四尺加入直径，为所割之弧，凡得圆径八步四尺也。再割亦依此法，如圆径二十步求弧数，则当折半，乃所谓以圆径除之也。）此二类皆造微之术，古书所不到者，漫志于此。
【译文】
算术中求物体体积的方法，如刍萌、刍童、方池、冥谷、堑堵、鳖臑、圆锥、阳马等，各种物体的形状都齐备了，唯独没有隙积这一种算法。古代的算法，凡是计算物体的体积，有立方体，是指六个面都是正方形的物体。它的计算方法是把一条边自乘两次就求得了。有堑堵，是指像土墙一样的形状的物体，两个墙面是斜的，两头的面是直立的。它的截面积的算法是把上、下底面的宽相加，除以二，作为截面的宽，用直高与它相乘即得。再把直高作为股，用上底面的宽减去下底面的宽，得到的差数除以二作为勾，用勾股定理算出弦，就是它的斜边长。有刍童，是说像倒扣在地上的斗那样的形状，四个侧面都是斜面。它的计算方法是：把上底面的长乘以二，加下底面的长，再用上底面的宽乘它，把下底面的长乘以二，加上底面的长，再用下底面的宽乘它；加上这二项，用高乘它们，再取其六分之一，就得到了它的体积。隙积是指体积有空隙的堆垛体，像垒起来的棋子、分层筑造的土坛和酒店里堆起的酒坛一类的东西。它们虽然像倒扣的斗，四个侧面也都是斜的，但由于边缘有残缺和空隙的地方，如果用刍童法来算它，得出的数目常常比实际的少。我想出了一种算法：用刍童法计算出它的上位、下位，再列出它的下底宽，减去上底宽，把这一差数乘以高，取其六分之一，并入前面的数目即可以了。（如果有堆垛的酒坛子，最上层长、宽都是两只坛子，最下层长、宽都是十二只坛子，一层层相错开垛好。先从最上层数起；数到有十二只坛子处，正好是十一层。用刍童法来算，把上层的长乘以二得四，加下层的长得十六，用上层的宽来乘它，得三十二。又把下层的长乘以二得二十四，加上上层的长得二十六，用下层的宽来乘它，得三百一十二。上、下两位相加，得三百四十四，乘以高得三千七百八十四。另外把下层的宽十二减去上层的宽，得十，与高相乘，得一百一十。加上前面的数字得三千八百九十四。取其六分之一，得六百四十九。这就是酒坛子的数目。用刍童法算出的是“实方”的体积，用隙积法算出的是截剩部分拼合成的体积，可以求出多余的体积。）丈量土地的算法，方、圆、曲、直的都有了，但没有会圆的算法。凡是圆形土地，既能够拆开它，又必须使它合起来能恢复圆形。古代的算法只是用“中破圆法”拆开来计算，其误差有达三倍的。我另外设计了一种拆开、会合的方法：设置一块圆形土地，以其直径的一半作为弦；再从半径减去所割下的弧形的高，它们的差数作为股。弦、股各自平方，用弦的平方减去股的平方，它们的差平方作为勾，再乘以二，就是割下的弧形田的弦长。把割下的弧形田的高平方，乘以二，再除以圆的直径，所得的商加上弧形的弦长，便是割下的弧形田的弦长。再割一块田，其算法也如此，把总的弧长减去已割部分的弧长，就是再割田的弧长了。（假如有一块圆形田，直径为十步，想使割出的弧形高二步，就用圆半径五步作为弦，五步平方得二十五，用半径减去弧形的高二步，它们的差数三步作为股，平方得九。用它来减弦的数二十五，得十六，开平方得四，这就是勾，再乘以二就得弧的弦长。把圆弧的高二步自乘，得数为四，再乘以二得八，退上一位为四尺，用圆的直径相除。现今圆的直径为十，已经满了整十数，不除退上一位也可以。只需要将四尺加入弧弦长，就得出圆弧的弧长，共是八步四尺。再割一块田，也依照这种方法。如果圆弧直径是二十步，要求孤长，就应当折半，这就是所说的要用圆弧直径来除它。）这两类方法都是涉及精微的算法，是古书里所没有的，所以随笔记录在这里。