科学——计算和算术——测量与衡量——几何学——代数学——物理学——化学——生物学——天文学——地理学和地质学——推理的方法——魔法

    科学是实在的、正确的、系统化的知识。蒙昧人和野蛮人掌握了丰富的经验性的知识，实际上，没有这些知识，争取生活作斗争是完全不可能的。原始人了解许多事物的特性。他们知道，火会燃烧而水会浸湿，重物要沉没而轻物能漂浮，什么样的石头能当斧头，什么样的木料能做斧柄，什么样的植物适于做食物而什么样的植物有毒，他们所狩猎的动物或会袭击自己的动物的习性如何。他们懂得怎样治疗，更懂得怎样去杀死它们。在取火的时候，他们是拙笨的物理学家；在调制食物的时候，他们是拙劣的化学家；在结扎伤口的时候，他们是拙劣的外科医师；在了解其河山的时候，他们是拙劣的地理学家；在用手指计算的时候，他们是拙劣的数学家。所有这些就是知识。而产生了文字并且社会进入文明时期的现代的科学，正是在这些基础上开始建立起来的。现在，摆在我们面前的任务，是一般地探求科学的产生及其发展。因为科学方法之应用，主要是由于计算和测量，所以我们应当首先研究人如何学会计算和测量。

    即使是那些不能说话的人，也都会计算。又聋又哑的孩子玛斯雪（

    Massieu）的例子，清楚地证明了这一点。他在来到修道院长希卡尔这里之前的许多关于童年时代的回忆录中写道：“还在人们开始照料我之前，我就知道数了，这是我的手指教会我的。”我们自己也在童年时代开始按手指学习算术，就是到了成年时代有时还用手指。由此不难了解，任何一种蒙昧人，在他们的语言中还没有表示三以上的数词时，他们是怎样仍会数比如说十五个死人和伤员的，他们是用手指代表人数，连续三次举手以表示最后的结果。

    其次的问题在于数字的名称如何发明。许多由最鲜明的形象征明的语言，对这个问题提供了回答，是用手指脚趾来计算，导致数字名称的确立。祖鲁人需要表示六数时，他说“tatisitupa”，意思是“拿大拇指”。这意味着说话的人在数了左手所有手指后，现在又开始数右手的大拇指。当他数到七时，例如，为了说他的主人买了七头牛，他说“u

    kombile”，即“他指了”。这意思是他数到了用来指东西的手指。因此，在世界各地，“手”，“脚”，“人”，就成了数词。像他们那种所举的例子，还可以从奥利诺科河（orinoco）的塔马纳克部族的语言中举例。他们的五的名词是“一只手”，六是“另一只手之一”，等等，直到十是“双手”。其次，“脚之一”是十一，等等，直到“一只脚”是十五；“另一只脚之一”是十六；由此直到“一个人”，这就是二十。“另一个人的手之一”是二十一，这样计算到“两个人”即四十，等等，等等。

    这种事态教给了我们一个有时被否定的真理，那就是原始人类社会像我们现在社会一样，自己有能力前进、或有能力自我改善。十分明显。有过这样一个时期，当时，这些人的祖先还没有用来表示十五或十六，甚至五或六的同，如果他们有这些词，就不可能如此愚笨，用这么几个谈到手、脚和整个人的句子来代替它们。我们看到，有过这样一个时期，当时除去自己的手指、脚趾以外，没有用来计算同类数的其他手段。他们发现，这数只不过是需要用几个词来表示他们在计算时的实际动作，就像类似“双手”这个说法能够用来表示十的数词一样。后来，他们就把这些保留了下来作为数词，而它们最初的意义就丧失了。像维族（Vei）黑人一样，他们把数字二十称作“mo

    bande”，它的本意应是“一个人被结束了”，而其本意却被遗忘了。

    早已进入文明时代的各民族的语言中，很少发现其数词含有如此明确的原始意义，或许，是因为这种原始意义起源极古，也可能有了极大的改变。但是，在世界上的一切语言中，在蒙昧人或在文明人的语言中，除了极个别的例外，有不可磨灭的印记证明，数词产生于按手指、脚趾的原始计算。这种用手指、脚趾的原始计算，使得人们习惯于以五、十或以二十为一组地进行计数，现在人们还继续采用这种计数方法。计数的五进位法，在像塞内加尔的黑人部族中使用，他们计数：一，二，三，四，五，五——一，五——二，等等。我们任何时候也没有用这样的文字计数，但是却用罗马数字这样来书写它们。十进位法是世界上最通用的，我们通常计数就属于这一种：因此，八十三就是。八个十和三”。在许多语言中，二十进位计数法也较常用；这种方法，在文明欧洲的十位计数法中也留下了烙印，这一点在英语和法语中可以看到，例如，八十三的文字表示是“四个二十和三”。因此，不能怀疑，现代人是从原始人那里直接继承了他们最早的算术，而这种算术是用天然的计算器——手和脚来进行计算的。这同样说明，文明世界为何采用建基于并不方便的十位数的数字表示法上，这种十位数既不能用三除尽，也不能用四除尽。如果我们不得不重新创立我们的算术，我们就会把它建基于一打或十二进位法上，并用一打和一罗（十二打）来代替一十和一百。

    数字名称的制定是前进中的伟大一步，但是在算术中，词语未必能有助于达到最简化的地步。任何人在试图用词语“八千八百个三”乘上“二百个十七”之后，而不能用把它们化为数字的推算来帮助自己，那么，他就会相信上述这一点。人们如何进步到采用数字符号？或许可从野蛮时代的会意文字中获得回答这个问题的起点。例如，北美的战士用标上四个小点来表明他剥了四个人的头皮。这种方法对于不大的数字是适用的，但是对于大数字就不适用了。因此，早在文字艺术的童年状态下，古人们就想到创造一些专门符号来表示五个、十个、一百个等等，而仍旧只用简单的小点来表示个位数。

    这一点在插图中可以很好地看到。图87表明如何应用古代埃及和亚述的进位法。这种古老的方法还没有灭绝，因为迄今仍然应用的罗马数字符号Ｉ、Ｖ、Ｘ、Ｌ，就几乎是按照同样的原则排列的。另一种由字母产生的方法，就是按顺序用字母来表示数字。例如，圣歌诗ＣＸＩＸ就附有希伯来文字母作为标记号码，而《伊利亚特》一书就用希腊文字母作标记号码。借助这各种各样的进位方法，古代算术做出了巨大成绩。然而所有这些进位法比起新世界的进位法来，是极不适用的。只要写一写ＭＭＤＣＬＸＩＸ和乘以ＣＣＣＸＬＶＩＩＩ就可以说明，我们丝毫也不会忘记确信我们的数字的优越性。

    为了了解数字如何发明，必须回到粗野的社会形态中来。在非洲，能够在市场上看到用小石子算帐的黑人商人。他们算到五的时候，就把一颗小石子放入在另一边的小堆之中。在太平洋的岛屿上发现，土著们数到十的时候，就把不满十的一堆东西分开放在一边，而仅用一块椰子果来表示十。以后，如有必要，就用一大块椰子果来标志十个十或一百。显而易见，这样采取各种不同符号并不是必要的，重要的是要借助小石子或椰子来进行计算，这就是使一个一堆，十个一堆，一百个一堆等等分别处于独立状态。采用像石子这样一些东西作计算标志，在古代十分普遍，因而希腊的计算用语中曾有“Psephizein”，这个词是从“Psephos”（石头）来的，而相应的拉丁文是“calculare”，也是从“calculus”（石头）来的。用石子作为计算标志，迄今仍然作为遗留保存在英国居民的文盲层中。

    为了调整这类用石子计算的顺序，需要一种算盘，或带分类的计算盘。这算盘有各种形式。例如，罗马的算盘是在一些小木柱上穿许多小孔或安上许多节，而中国的算盘则是把许多木珠穿在许多金属丝上，当地商店里的会计就用它们迅速而准确地计算，其迅速程度和准确程度远远超过使用铅笔和纸的欧洲帐房办事人员。俄罗斯的商人们可能就是从中国传入这种计算方法，他们同样采用这种方法进行计算。据说，在拿破仑侵略时期，有个法国人在俄罗斯看到这种计算方法之后，大为惊奇，认为它们能够很好地用来教儿童们算术。因此，他把算盘引进法国，它又从这里进入英国的初级学校。不论使用那种算盘，它们的原则是相同的，就是盘面分成若干行，第一行的石子、豆粒、小木柱或木珠，表示个位，第二行表示十位，而第三行表示百位，等等，如图88。在这里，右面一行的三颗石子表示３，下一行的九颗石子则表示90，第四行的一颗石子表示1000，等等。

    进一步完善在于取消不适用的石子或豆粒，也在于在行中记下数字，如插图中用希腊和罗马的数字符号所表示的那样。而现在，会计没有拙笨的器具也已经能够过得去了；他只要在纸上画上线，造成个位行，十位行，百位行，等等就可。当然，读者已经看出，完全没有必要遵守算盘的原则，每下一行都较前一行多十倍。它也可能是多十二倍，或多二十倍，或多某种需要的倍数。不过这种计算仍然为数字没有行不成这种缺点所苦，因为甚至从个位到十位的每个数都有了一个独立数字来表示时，有的计算仍然可能会留下空白（如图中所特意这么做的那样）。在取消行的情况下，那就会导致一切都混乱不清。现在，我们觉得用一个符号来标志空行是最简单的事，由于已经学会了借助零或符号０，因此，算盘上表示的数字，现在书写起来就没有任何行了——241093。

    这种在实践方面表示“无”的符号的发明，是在科学中迈出的最伟大的一步。正是零的采用，构成了古代算术和我们的方便计算之间的全部区别。我们认为这是阿拉伯人的发明，因而采用了术语“阿拉伯字码”，然而阿拉伯人自己却称它们是印度字码。这两种名称都含有几分真理，因为有些民族是向另一些民族学习了算术。但是迄今为止，仍然有个没有解决的问题：这些字码是在亚洲发明的，还是起源于欧洲，起源于毕达哥拉斯学派（school

    of Pythagoras）的算术。但是，主要之点则毫无疑问，那就是，新时代的算术起源于古代按照算盘各行的计算，而这种算盘后来为书写圈或零来标志空行所改进。借助于这种符号，现代的儿童们能够轻易地进行运算，而这种运算对于古代的计算者来说，是极端困难的。

    现在，我们转来谈谈测量技术。很容易就能立即想到，也像计算一样，人最初是借助自己的身体来进行测量的。当野蛮人借助自己手指的宽度知道一支矛比另一支矛长多少的时候，或者在建造茅屋的时候，他们想到应当把一只脚放在另一只前面，以取得两柱之间的距离，他们就使测量技术走上了第一阶段。迄今为止，我们在从事粗糙工作时有时也采用这种方法，例如，我们用手势来表明马的高度，或用步子来量地毯的大小。如果选择的是中等身材的人，那么，能使测量十分正确。原始的方法就是这样，未必能加以怀疑，因为掌握了较精确手段的文明民族，至今也还采取身体度量的名称，如肘，掌，足（英尺），拃，指，等等。不过，这些名称虽保留着借助人体器官的早期测量的回声，它们在现代也只是用作人们偶尔能按其大小与之十分相近的度量单位的方便名称。例如，人的一足长为一福特，如果把它作为定则，当然是极大的谬误。

    我们的新测量法，是借助标准度量进行测量。这种标准度量，我们是从古代继承下来的，只不过作了或大或小的改变。埃及人和巴比伦人把具有为标准度量所必需的一定精确长度的一段木头或金属拿来应用，这是文明史上的伟大一步。至今还可以看到分成若干节的埃及的肘，而巨大金字塔中的皇帝房间，长有二十肘，宽有十肘，极为精确。一肘等于20．63英寸。我们的福特在最近几世纪中没有变化，跟希腊和罗马的福特也不太相等。

    法国人在第一次革命时期作了大胆尝试，抛弃古代的传统度量而直接取法于自然，于是就制定了公尺，它是赤道和极之间距离的千万分之一。但是，这种计算原来并不精确。所以公尺在现代实际上是陈旧了的标准度量，然而同样是一些度量，那种分成若干细度的公尺在使用上便利性是如此之大，在全世界越来越多地为科学工作所采用。在最早的某些时代，文明民族中就已经开始使用天平和液体及颗粒体量器。我们现代的度量单位，在一定程度上可以追溯到古代的度量单位。例如，磅和英两，加仑和品脱起源于古代罗马的量和度。

    人们可能很快就从用英尺测量长度过渡到用平方英尺来计算面积，例如某种长方形的面积。但是，计算面积，较简单图形极少采用较复杂的几何原则。发明几何学——也就是“测量学”的荣誉，希腊人认为应属于埃及人。在古代故事中可能包含某一部分真理。根据这种故事，由于要把尼罗河岸上用淤泥施肥的土地划分成若干部分，这种技术就有了产生的基础。在不列颠博物馆有一部古埃及测量指南（林德Rhind古抄本），这是世界上最古的书籍之一，写于欧基里得时代之前一千多年时期，这部书指明，埃及人当时在几何方面知道了什么，还不知道什么。从他们的几何的图形和实例得知，他们采用了正方形的度量，然而只用粗略的方式来计算它们。例如，为了测量三角形地

    ABC的面积，他们用AB乘AC的一半，这只有在BAC是直角的情况下才能是正确的。当要求埃及人求出圆地的面积时，他们就减去直径的九分之一，并取剩下的正方形部分。例如，假若直径等于

    9杆（1杆=5.5码），那么，他们发现，这块圆形地包括着64个正方形的杆。经过核对，与实际是非常相近的。

    十分明显，这是几何学的开端，并且可以相信下面的证据：像泰勒斯和毕达哥拉斯的希腊哲学传到了埃及，使得这个国家的牧师——几何学家获得了智慧。但是，这些埃及的数学家，作为牧师阶级的成员，却开始把自己的这些几何规则当作神圣的，因而也是不可改进的；这样，使他们那些与此无关的希腊学生们，在寻求更完善的方法上得以大步前进。于是，希腊的几何学就取得了由欧基里得的伟大著作传到现在的那些成绩。欧基里得采用了他的前辈所熟知的定理，同时补充了新的内容，并且全都合乎逻辑地加以证明。

    但是，可以设想，初等几何学实际上并不是借助那些像欧基里德所采用的定义、定理和推论发明出来的。它的萌芽事实上发生于土地丈量员、石匠、木匠和裁缝的日常工作之中。这一点，可以从古代印度祭坛建造中的几何定理中看出来。这些定理告诉石匠，不必在几条线构成的平面上绘图，而是在有一定距离的两端立起竿子，竿子之间拉直绳子。如果我们在两个小木柱之间拉紧一条线，那么，我们就会看到，拉直的线比别的线短。这就能使我们猜想出；两点之间以直线为最短的定义是怎样得出来的。同样，每一个木匠都知道直角的性质，并且惯于使用平行线或两条彼此距离相等的线。对于裁缝来说，直角则是另一种手段。假定说，他剪一块重叠的布，以便打开做接角布或图89上的BAC楔形布块，他就应当按直角ADB来剪，因为不这样，剪下的布块展开之后就会或者凹进，或者凸出，就像在图中所看到的那样。若照直剪，BDC展开就成一条直线，他不能不看到，边AB和AC及角ABC和ACB必定彼此相等，因为在剪裁时，它们是边对边、角对角地重叠在一起的。因此，借助这种所谓裁缝几何学，他就得出了欧基里德定理，这种定理在现代就是以“驴桥”的名称而著名的。

    这些很容易理解的几何图形的性质，很早就在实践上为大家所熟知了。但同样正确的是，古代长期并不了解现代属于基本训练的那些问题。例如，我们只是谈到了，埃及的测定地界者不能为测量三角地确立精确的定则。但是，如果他们想从一张草纸上剪下一个三角形图，像我们在图

    89．3上对三角形 ABC所能做的那样，如图上所表明的把它放下，那么，他们就会发现，它是放在长方形

    EFHG

    内，因而，它的面积就是底与高之半的乘积。他们也能够看到，这不是什么偶然性，而是一种属于所有三角形的本性，而且，正如同时所表现出的，A、B和C三个角一同全放在Ｄ上，就形成了两个直角。显然，较早的埃及几何学家，连三角形的这一特性也不知道，而希腊的几何学家们，却早在欧基里德时代之前就借助某种方法熟悉了它们。

    显然，叙述数学发明之起源的古代历史学家们，并不总是明白他们所说的。例如，他们谈到泰勒斯时说，他第一个把直角三角形内接于圆，在这之后，他就用牛上供了。但是，这样卓越的数学家未必能知道聪明的木匠有时知道的事情；木匠需要时能把长方桌对称地改成圆桌，这就包含着内接于半圆中的直角三角形的问题，如上图所见。或许，事实上这故事的意思是泰勒斯第一次对这个原理做出了几何学的证明。同样地也谈到了毕达格拉斯，另一种说法，说他发现了直角三角形之弦的平方等于其余两边平方之和以后，就用百牛牺牲上供。这个故事对于不许以任何动物上供的哲学家方面来说，似乎不太可信。至于发明者，他可能是在实践中凿平方石以铺路或制做屋瓦的著名瓦石匠。例如，当底有三块瓦长，而垂直线有四块瓦长时，斜边就将有五块瓦长；在它上面构成一个长方形所需的瓦数，就等于用它在其余两个边上共同组成一个长方形所需要的瓦数。毕达格拉斯采用了类似的实际规则，或者他通过研究算术的平方数得出了这个原理，在任何情况下他都能数第一，是他第一个把一切三角学和解析几何学都以之为凭借的直角三角形的性质确定为普遍规律。

    在古代数学史中众所周知的仅仅是，这门科学的奠基者是测定地界的埃及人及巴比伦人，他们在算术中的技术，可以从他们所编的并迄今仍保留下来的平方数和立方数表中得出结论。后来，起初曾是这些最古老学校学生的希腊哲学，很快地就超过了自己的先生，并把数学——正像这一名称本身所意味的那样——提到了教人的头脑严密而准确地思维的“指南”的高度。

    初级阶段的数学，主要是由算术和几何组成的，因而就与某些数和量有关系。但是，在古代，埃及人和希腊人就已经在研究处理没有确定号数大小的数的方法，而印度人的数学在同一方向上走得更远，已经采用了现在称作代数的方法。

    应当指出，采用字母作为代数的符号，并不是借助侥幸的悟性一下子发明出来的，而是由较早的并且较拙笨的方法发展而来的。从一本梵文书中得知，在印度，起初标志未知数是借助“某数”这个术语，或者是借助花的名称：“黑花”，“蓝花”，“黄花”。后来，为了简短一点就开始采用这些词的最初的一些音节。例如，假若我们需要表示出“未知数字的二倍平方”，我们原来称为“某数的二倍平方”，后来就缩简为某２方，这就跟印度人在解决例如科尔布鲁克的《印度人的代数》中所提出的问题时的作法极为相似。那个问题是：“一窝蜜蜂数的一半的平方根，飞到了茉莉丛中，也就是全窝的十分之八；一只雌蜂跟一只留下的向荷花嗡嗡飞去的雄蜂窃窃私语，雄蜂被荷花的夜香引诱住，便停在荷花里面。亲爱的女士，请问蜜蜂的数目是多少？”这种印度人的方程式是由那种因缺乏较晚在欧洲发明的方便符号＝、＋、－而不合体的方法来解决的，但是，负数被标出了，而这个方程式却按通常的平方方程的方法解决了。阿拉伯的数学学会了这种惊人的印度人的方法。通过阿拉伯数学，这种方法在中世纪闻名于欧洲。赋予这种方法的阿拉伯名称是“al-jabr、wal-mukabalah”，也就是“联合”和“对立”，意思是现在方程式一部分的数向另一部分进行转移。由此也就产生了现在的代数语言。

    高等数学在欧洲完全确立下来，大概不早于十七世纪。当时，笛卡尔把代数系统地应用到了几何学中，而伽利略关于球体轨道或抛石轨道的研究，则引发了导致牛顿的流数和莱布尼茨的微分学的思想。数学借助于他们提高了它在现代所获得的那种地位和意义。数学的代表符号没有丧失其最初的缩写字形的痕迹，例如，ｎ迄今为止仍然用来替代number（数目），而ｒ替代radius（射线），同时像√，代表速写的ｒ，起radix（根）的作用，而Ｓ——古代的Ｓ——在求积分时用来替代sum（和）。

    机械学和物理学在现代构成了我们认识宇宙的基础。但是在古代野蛮时期，人们对于它们只有最粗浅的了解。蒙昧人如此了解投掷武器运用的方法，因而能瞄准并命中目标。当他们把自己的斧头多半是安在长柄而不是短柄上的时候，他们也同样明白如何运用杠杆原理。但是，他们未必能把这些实践中的了解，提高到原则和规律的程度。即使是东方的古代文明民族，就大家所知，也不能对机械学的规律进行科学研究，虽然他们会借助杠杆抬起石头垂直地放在墙上，借助垂线来衡量黄金的分量。这一点还被一种设想所证实。如果希腊人知道这些规律，那么，他们大概是从东方民族学来的。同时很明显，这些科学是从希腊的哲学家中诞生出来的。他们开始讨论亚里土多德时代的机械学问题，但是，他们讨论这些问题远不总是正确的。例如，他们认为，物体受地心吸引，它的重量越大，它落下得就越快。科学机械学的奠基者是阿基米德。他从杆秤的实验中研究出了杠杆的规律，并且由此引出了下面这种情况，即物体中心周围的各部分是平衡的，而这个中心现在就称作物体的重心。他还提出了物体浮力的一般理论而中世纪的数学家们未必能理解这种理论。

    实际上，在古典时代之后，机械学在全部漫长的死气沉沉的时代中，遭受了一切知识的共同命运。在那个时代，许许多多东西都被遗忘了，留在记忆中的只是那种隶属于繁琐神学的东西。现代的读者有时可以看到，“古人的智慧”有时仍然作为科学的权威而展现出来。但是，中世纪的学者们能够实际地看到它们，就像看到自己的教师一样。希望看看格伯特（罗马教皇希尔维斯特二世）的书。格伯特作为十世纪的进步数学家之一，他努力测量三角形面积，就像某一位古代的埃及人那样，其实，欧基里德所确定的较为确切的方法，早在古代就已经为大家所熟悉了。

    如果在古代的知识宝库对于基督教来说已经丧失的那个时代，伊斯兰教的哲学家们即使对这座知识宝库做出了新贡献，也没有成为它的守护者，那么，作为科学的物理学就可能完全消失了。伊斯兰教的哲学家们这方面的功绩并没有经常受到足够的重视。在谈到伽利略时，人们讲述了一段有趣的轶事：好像他是因为观察了比萨中央大教堂内圣像前悬挂的大长明灯的经常摆动，才发明了钟摆。事实上原来早在六年前，伊布恩·尤努斯和其他阿拉伯天文学家们，就已经在他们的研究中采用钟摆来作为测时仪器