理的探讨》中（第267页以下）对这个问题曾详加检查，但是对得到的结论是有些拿不定的。
原子性原理维根斯坦是用下面的措辞来陈述的：“关于复合的每个陈述可以分析成关于它们的组成部分的一个陈述，并且可以分析成完全描述那些复合的一些命题”（《逻辑哲学论》，2.0201）。这个原理可以说是相信分析的具体表现。维根斯坦写《逻辑哲学论》的时候，他相信（据我的了解，他后来终归不相信）世界是由许多具有各种性质和关系的简单东西构成的。简单东西的简单性质和简单关系是“原子事实”，关于它们的断定是“原子命题”。这个原理的要点是，如果你知道所有的原子事实，并且也知道它们是所有的原子事实，再也没有别的，你就能只用逻辑来推论所有别的真命题，这个原理引起的重要难点也是和“A相信p”这样一些命题有关，因为，这里p是复杂的，算是一个复合。这种命题的特点是，它们包含两个动词，一个是主要的，另一个是附属的。让我们举一个很简单的例子，比如说：“A相信B是热的。”这里“相信”是主要动词，“是”是附属动词。原子原理需要我们设法把这事实表示出来，而不提出“B是热的”这个附属的复合来。这个原理我也在《对意义与真理的探讨》中（第262页以下）详细讨论过。
关于这两个原理，我所得到的结论是：“（1）如果严格地加以解释，分析象‘A相信p’这样的一些句子，外延原理不能证明是伪的；（2）同是这个分析不能证明原子原理是伪的，但是证明其为真，是不够的”《对意义与真理的探讨》（第273页）。
对于维根斯坦这两个原理更通常的批评是，没有理由相信简单东西和原子事实。据我的了解，他后来也终归这样想。但是讨论这个问题就使我们离开《逻辑哲学论》太远了。在后边的一章里，我还要讲这个问题。
维根斯坦主张，逻辑完全是由重言式所构成。关于这一点，我想他是对的，虽然在我读到他关于这一问题所说的话之前我并不认为如此。还有和这个有关系的一点是非常重要的，就是，所有原子命题是各自独立的。从前以为，一个事实在逻辑上讲可以有赖于另一个事实。只有如果其中的一个事实其实是两个事实放到一起的时候，才是如此。在逻辑上讲，从“A和B是人”推出的结果是，A是一个人。但是那是因为“A和B是人”其实是两个命题放到一起的。我们所讨论的这个原理的结果是，在实际世界中为真的那些选择出来的原子事实可以是逻辑所能证明的原子事实的全体，但是，显而易见，关于这一点，原子性原理是必不可少的，而且，如其不为真，我们就不能确信最简单、可能得到的事实有时在逻辑上也许是不相关的。
在《数学原理》的第二版中（1925），我考虑了维根斯坦的一些学说。我在一篇新的《导言》里采用了外延性原理，并且在《附录》里考虑了对这个原理显然可非议之处，就全体来说，我断定这些非议是无效的。在这个新版中，我的主要目的是减少《可化归性公理》的使用。如果我们一方面要避免矛盾，另一方面保存平常认为无可争议的所有数学，这个公理（等一会儿我就要加以说明）好象是必需的。但是它是一个可议的公理，因为其为真是可以怀疑的，并且更重要的是因为，如其为真，其为真是属于经验的，不是属于逻辑的。怀特海和我认识到，这个公理是我们的系统的一个弱点，但是我至少认为它有类乎平行公理，这个平行公理一向被认为是欧几理德几何学的一个弱点。我认为迟早会找出一种方法把这个公理废除掉，同时把难点集中在一点上是一件好事。在第二版的《数学原理》里，在许多情形中（这个公理原先看来好象是少不了的），特别是在所有数学归纳法的使用中，我成功地把这个公理废除了。
我现在必须说明这个公理是说什么，以及为什么它好象是不可缺的。我在前面已经说明过属于一些性质总体的性质和不属于性质总体的性质之间的差异。属于性质总体的性质往往引起麻烦。举例来说，假定你提出来这样的一个定义：“一个典型的英国人就是一个具有多数英国人所具有的性质的人”。你就会很容易认识到，多数英国人并不具有多数英国人所具有的一切性质。所以，按照你的定义来说，一个典型的英国人就是不典型。麻烦之发生是因为，“典型”这个字的界说是指一切性质。然后其本身被当做是一种性质。因此似乎是，如果正当来说“一切性质”，你的意思不能是真指“一切性质”，而只是指“不属于性质总体的一切性质”。正象我在前面说明的那样，我们把这样的性质说成是“断言的”。可化归性公理是说，一个不是断言的性质永远在形式上等于某个断言的性质。（如果两个性质属于同一组东西，或者说得更确切一些，如果它们的真伪价值对每个主目来说都是一样，这两个性质在形式上就是相等的。）
在第一版的《数学原理》中我们把接受这个公理的理由说明如下：“可化归性原理是自明的，这是一个难以让人支持的命题。但是，事实上，自明不过是接受一个公理的理由的一部分，绝不是必不可少的。接受一个公理的理由，正和接受任何别的命题一样，永远大部分是归纳性的，也就是说，许多几乎无可怀疑的命题可以从这个公理推演出来，没有同样讲得通的办法使这些命题可以为真，如果这个公理为伪，而且无任何可能是伪的东西能从它推演出来。如果这个公理表面看来是自明的，实际上那就是说，它几乎是无可怀疑的；因为有些东西原被认为是自明的，可是后来知道是伪的。如果这个公理本身几乎是无可怀疑的，那只增加了归纳证据，这种证据是从其结果几乎是无可怀疑这个事实来的，它并不能提供迥然不同的新证据。绝对正确是永远达不到的，所以每个公理和其所有结果总要有若干可疑成分。在形式逻辑里比多数科学里可疑成分为少，但是并不是没有。这从这件事就可以看出来：悖论是来自一些原来不知道需要加以限定的前提。就可化归性公理来说，对它有利的归纳证据是很强的，因为它所容许的推理和从它引出来的结果都显然是有效的。但是，虽然这个公理竟然为伪象是很不可能，但是绝不是不可能居然发现它是从另外某一个更基本、更明显的公理推演出来的。很可能，使用循环论法原理（这种原理体现在前面讲过的层型中）是使用得过猛了，若是使用得不那么猛，这个公理的必要性也许就可以避免了。可是，这类变动并不使根据前面说明过的原理所断定的任何东西为伪，这类变动只不过为这些同一定理提供更容易得到的证据。因此，好象没有什么根据害怕使用可化归性公理会使我们有错误”（《导言》，第Ⅱ章，第Ⅶ节）。
在第二版里我们说：“显然应该改进的一点是可化归性公理。这个公理只有一个纯乎是实用的理由作为根据：它导致所想望的结果，而无其他结果。但是它不是我们能满意的那类公理。但是，关于这一个问题，还不能说可以得到一个满意的解决。雷昂·崔斯泰克毅然把这个公理废除，而不采取任何代替的东西。从他的研究来看，很清楚，他的这种办法使我们不得不牺牲大量的普通数学。还有一个办法（由于哲学上的理由为维根斯坦所推荐），就是假定命题的函项永远是真伪函项，并且一个函项只能通过它的值出现在一个命题中。象这种看法是有难点的，但是这些难点也许不是不能克服的。这种看法会有这样的结果，就是，函项的所有函项都是外延性的。它需要我们主张“A相信p”不是p的一个函项。在《逻辑哲学论》里（同上所引处，及第19至21页）证明这如何是可能的。我们不准备断定这个学说确是正确的，但是在以下的篇幅中把它的结果弄出来，看来是值得的。看来第一卷中的一切仍然是正确的（虽然常常需要新的证明）；归纳基数和序数的学说继续存在；但是无限戴地钦德和良序级数的学说大部分是垮台了，所以无理数和一般的实数再也不能得到适当的解决。而且坎特的2n＞n这个证明也瓦解了，除非n是有限的。也许还有一个什么别的不象可化归性公理那么不满人意的公理会产生这些结果，但是我们还找不出这样的一个公理来（《导言》，第XIV页）。
《数学原理》第二版出版不久之后，F.P.莱穆塞在两篇很重要的文章里捡起化归性公理这个问题来，一是《数学的基础》，发表于一九二五年，还有《数理逻辑》，发表于一九二六年。不幸，莱穆塞的早亡使他的意见不能充分发展。但是他已有的成绩是很重要的，值得认真考虑。他的主要论点是，必须使数学成为纯然是外延性的，《数学原理》的麻烦是起自非法侵入了内包的观点。怀特海和我主张，一个类只能用一个命题函项来规定，这甚至可以用于好象为枚举所规定的那些类。举例来说，由a、b和c三个个体而成的这个类是被“x＝a或x＝b或x＝c”这个命题函项所规定。维根斯坦拒绝等同（莱穆塞对此加以承认）使这个方法成为不可能，但是，从另一方面来说，莱穆塞认为，对于用枚举来给一个无限的类下定义，并没有逻辑上的异议。我们不能这样来给一个无限的类下定义，因为我们总是要死的，但是我们不免于死是一件经验上的事，这件经验上的事逻辑学家们是应该置之不顾的。他认为，根据这一点，乘法公理是一个重言式。例如，再回头讲那个有无限双袜子的百万富翁。莱穆塞主张，没有必要定一个规则从每双袜子里挑一只。他认为，就逻辑来说，一个无限数目的任意选择是和一个有限数目的选择一样可以容许的。
他把一个类似的观点应用于改变命题函项这个概念。怀特海和我认为一个命题函项是含有一个未定变项的一个表达法，一旦给这个变项指定一个值，就变成一个普通的句子。例如“x是有人性的”，一旦我们用一个专名来代替“x”，就变成一个普通的句子。这样来看命题函项们，它们是由内包而成（关于变项或变项们除外）。“是有人性的”这些字形成许多普通句子的一部分，命题函项是造若干这类句子的一个方法。函项的值因变项的不同的值而确定，变项由于语句内在的特性而有不同的值，莱穆塞关于命题函项的想法颇为不同。他把命题函项只看做是使命题和变项的值有相互关系的一种方法。除了以前下过定义的那个断言函项的概念（为了某些目的，我们仍将需要这种断言函项），我们用外延来给命题函项的新概念下定义（倒不如说是说明，因为在我们的系统中，必须认为它是不能下定义的）。一个个体的这样一个函项是由命题和个体之间外延上任何一——多关系引起的；也可以说是一种相互关系（不管能实用不能实用），这种相互关系把一个独特的命题联合到每一个个体上，个体是函项的主目，命题是它的值。
如，（苏格拉底）或许安女王已经死了，
（柏拉图）或许爱因斯坦是一个伟人；
x只是x命题们和x个体们的一个任意的联合（《数学的基础》，第52页）。
把这个新解释用于“命题函项”这个概念，他就能废除了可化归性公理，也能用在符号上同《数学原理》里的定义没有区别的东西来为“x＝y”下定义，虽然那个定义现在有了一个新解释。这样他就成功地保留了《数学原理》的符号部分，几乎没有变动。关于这个符号部分，他说，“形式上，它几乎没有变更；但是它的意义已经大大改变了。这样保留形式，而改变解释，我是追随那一大派数理逻辑学家的，他们借着一系列惊人的定义，从怀疑论者的手中拯救了数学，并且为命题提供了一个严格的论证。只有这样我们才能使数学免遭柏劳尔和魏勒的布尔什维克式的威胁”《数学基础》，第56页）。
关于莱穆塞对“命题函项”这个概念的新解释的有效性，我是很不容易拿定主意的。我觉得，实体对命题的一个完全任意的相关是不能让人满意的。请以自“对x所有的值来说，fx为真”到“fa”这个推理为例。按莱穆塞对“fx”这个概念的解释，我们不知道“fa”可以是什么。相反，在我们能够知道“fx”的意思是什么之前，我们必须知道“fa”和“fb”和“fc”等等，贯穿全宇宙。一般命题就失掉了它们存在的理由，因为它们之所断定只能借枚举所有单独的实例来说明。不管你对于这个非难的意见如何，莱穆塞的建议的确是很巧的，而且，即使不能完全解决所有的难点，很可能路子是对的。莱穆塞自己是有怀疑的。他说，“虽然我对于怀特海和罗素的主张试加改造我认为克服了很多难点，却不能认为这种改造是完全满意的”（《数理逻辑》，第81页）。
在另一件事上，我认为莱穆塞的研究大家必须承认确是对的。我已经列举了各种矛盾，其中一类的例子就是那个人，他说“我说谎呢”，而另一类的例子是，是否有一个最大基数的问题。莱穆塞证明，前一类是和一个字或语句之于其意义的关系有关，是把二者弄混的结果。如果避免了这种混乱，这类的矛盾就没有了。莱穆塞主张，另一类矛盾只能用类型学说来解决。在《数学原理》里，有两种不同的层型。有外延阶层：个体，个体的类，个体的类的类，等等。莱穆塞保留这个阶层。但是还有另外一个阶层，正是这另外的那个阶层使可化归性公理成为必需的。这就是某一对象的某一主目或性质的函项阶层。先是断言阶层，这个阶层不指任何函项总体；其次是指断言函项总体的函项，如，“拿破仑具有大将的一切特长”。我们可以称这些为“第一级函项”。然后是指第一级函项总体的函项，这样下去，以至于无穷。莱穆塞用他对于“命题函项”这个概念的新解释，取消了这个阶层，这样就只留有外包阶层。我希望他的学说是有效的。
虽然他是以维根斯坦的一个门人来写书，并且除了维根斯坦的神秘主义之外，一切都跟着他走，他探索这个问题的途径却是非常不同的。维根斯坦发表一些格言，让读者测量其高深。他的一些格言从字面上看是和符号逻辑的存在很难相合的。正相反，即使莱穆塞追随维根斯坦追随得很紧，他却极其小心地说明，（不管所讲的是什么学说，）如何能把这个学说配合到数理逻辑的主体里去。
有大量的、深奥的文献论述数理逻辑的基础。除了在《对意义与真理的探讨》中讨论外延性和原子性原理和排中律以外，自一九二五年出版第二版《数学原理》以后，我没有做纯是逻辑的研究。所以，后来关于这个科目的研究没有影响我在哲学上的发展，因而也就不属于本书的范围。