《数学原理》最初不很受欢迎。大陆上的数理哲学分为两派，形式主义者和直观主义者。这两派都完全否认数学是从逻辑出来的，并且利用矛盾来证明他们的否认是正当的。

    以希尔伯特为首的形式主义者主张，算术上的符号只是纸上的一些记号，全无意义，算术是由类乎下棋的规则的一些任意的规则而成，按照这些规则，可以把那些记号加以操作使用。这个学说有着避免一切哲学争论的有利条件，但它也有不能解释数字在计算中应用的不利条件。如果把○这个符号看做是指一百或一千或任何别的有限数，则形式主义者所提出的一切使用规则也就得到了证实。这个学说无法解释象“这间屋子里有三个人”或“有十二个使徒”这样一些简单的命题是什么意思。对于从事计算，这个学说是完全够用的，但是在数的应用上则是不够的。既然重要的是数的应用，形式主义者的这个学说不能不看做是一种不满人意的逃避。

    以伯劳威为首的直观主义者的学说须更认真地讨论一下。这个学说的核心是否定排中律。这个学说认为，如果有一个方法能确定一个命题是正确或错误，那个命题才能算是正确或错误。常见的例子之中有一个就是这样一个命题：“在π的小数计算中有三个连续的七”。就已经求出来的π的值来说，并没有三个连续的七，但是没有理由假定在后来的一个地方这就不会出现。如果今后看来果真有一个地方有三个连续的七出现，问题就解决了，但是，如果这样一个地方没有达到，那并不能证明后来不会有这样一个地方。所以，虽然我们也许完全能证明是有三个连续的七，我们却永远不能证明没有。这个问题对于分析是很重要的。不尽的小数有时候是按一条定律来进行，这条定律使我们能够随意计算多少项。但有时（我们必须这样假定）它们不按任何定律来进行。根据一般承认的原则，第二种情形比第一种情形不知要普遍多少倍。而且，如果不承认“不法的”这样的小数，则整个实数学说就塌台了，并且微积分以及几乎整个高等数学也就随之瓦解。伯劳威面对这一灾难，毫不畏缩，但是大多数数学家认为是受不了的。

    这个问题的普遍性比上面那个数学例子所表现的要大得多。问题是：“如果没有方法来决定一个命题正确或错误，说这个命题正确或错误有没有任何意义？”或者用另一个方式来说：“‘真’和‘能证实’应该是一回事吗？”我认为我们不能说这是一回事，否则我们只得作一些粗劣而无理的悖论。请以下边这个命题为例：“公元一年的一月一日曼赫坦岛上下了雪”。我们想不出有什么法子能够看出这个命题是正确或错误，但是主张这个命题不正确也不错误，看来是荒谬的。关于这个问题我现在不想再说下去，因为我在《对意义与真理的探讨》的第二十和第二十一章中曾详细讨论过，关于《对意义与真理的探讨》一书我在本书的后边一章还要讲到。同时，我想直观主义者的学说是不能不加以拒斥的。

    直观主义者和形式主义者都是从外面来攻击《数学原理》的学说，而击退他们的攻击好象并不十分困难。维根斯坦及其学派的批评就另是一回事了。这些批评是来自里面，十分值得尊重。

    维根斯坦对我有过深远的影响。我渐渐觉得，在很多点上我和他的意见相合是过了分。可是我不能不先解释一下争论之点是什么。

    维根斯坦对于我的影响是分两起来的：第一起是在第一次大战之前；第二起是大战一完他就把他的《逻辑哲学论》的原稿寄给我。他后来的学说，在他的《哲学研究》中所讲的，丝毫没有影响我。

    在一九一四年之初，维根斯坦给了我一篇用打字机打好的短文章，里边是一些论各种逻辑问题的笔记。这篇文章，和多次的谈话，影响了我在战时那几年的思想。战时他在奥国的军队里，因此我完全和他中断了联系。我在这个时候对他的学说的了解完全是来自未经发表的材料。我不确实知道，那个时候或者后来我自己相信是由他而来的意见，事实上真是他的意见。他始终否认别人对他的学说的解释，即使这些人是他的热诚的门徒。我所知道的唯一例外是F.P.莱穆塞，这一个人我不久就要讨论。

    一九一八年之初我在伦敦连续做了一些讲演。这些讲演后来登在《一元论者》学报里（1918及1919）。我曾用下面表示感谢维根斯坦的话来作这些讲演的序言：“以下的文章是一九一八年头几个月在伦敦所做的连续八个讲演的前两个，主要是从事解释我从我的朋友、从前的学生路得维希·维根斯坦所学来的一些想法。自一九一四年八月以后，我就没有机会知道他的主张了。我甚至都不晓得他活着还是死了。因此，除了这些讲演中的许多理论当初是他供给的之外，他对于这些讲演中所说的话不负责任。另外那六个讲演将在《一元论者》的以后三期里登载”。

    正是在这些讲演里，我首先采用了“逻辑原子主义”这个名字来形容我的哲学。但是多谈这一方面是不值得的，因为维根斯坦的一九一四年的学说尚处在一个不成熟的阶段。重要的是《逻辑哲学论》，停战不久之后他就把打字稿本寄给了我，那时他还是在蒙特卡西诺的一个俘虏。我将讨论《逻辑哲学论》的学说，先讨论那时这些学说对我的影响，其次讨论后来我对于这些学说的想法。

    也许《逻辑哲学论》在哲学上的基本学说是，一个命题是这个命题所说的那些事实的一个图形。一张地图显然是传达一些正确或不正确的知识；如果这些知识是正确，那是因为这张地图和其所关的地方二者之间在结构上有相似之处。维根斯坦认为，用语言来断定一件事实也是如此。例如他说，如果你用“aRb”这个符号来代表a对b有R关系这件事实，你的符号之所以能够代表是因为这个符号在“a”和“b”之间建立起来一种关系，这种关系代表a和b之间的关系。这个学说是强调结构的重要性。例如他说：“留声机片、音乐思想、乐谱、声波，彼此都有那种图画似的内在关系。在语言和世界之间也有这种关系。逻辑结构和所有这些都有共通之点。”

    “（正象故事里的那两个青年、他们的两匹马和他们的百合花。在某种意义上说，他们都是一回事。）”（《逻辑哲学论》，4.014.）。

    强调结构的重要性，我仍然认为他是对的。可是，至于一个正确的命题必须重现所关的事实结构这样一个学说我现在觉得很可怀疑，虽然当时我是承认这个学说的。无论如何，即使这个学说在某些意义上是正确的，我也不认为它有什么很大的重要性。可是维根斯坦却以为是根本的。他把它当做一种奇怪的逻辑神秘主义的基础。他主张一个正确的命题和与它相应的事实所共有的形式只能表示出来，而说不出来，因为它不是语言中的另一个字而是一些字或与这些字相当的一些东西的一种安排：“命题能够表现整个的实在，但是它们不能为了能够表现实在，来表现它们必与实在相共有的地方——逻辑的形式。

    “为了表现逻辑的形式，我们应该能够把我们自己和命题置于逻辑之外，那就是说世界之外”（《逻辑哲学论》，4.12.）。这是提出来的唯一之点在我极接近同意维根斯坦的主张的时候，我仍然不能信服。在《逻辑哲学论》我的导言中我建议，虽然在任何一种语言中有一些语言所不能表示的东西，可是总有可能构成一种高一级的语言，能把那些东西说出来。在这种新的语言中还要有一些东西说不出来，但是能在下一种语言中说出来，如此等等以至于无穷。这种建议在那个时候是新奇的，现在已经变成一种公认的逻辑上的平凡的东西了。这就消除了维根斯坦的神秘主义，并且，我想，也解决了哥德尔所提出的新的谜。

    其次我讲一讲维根斯坦关于同一的说法。他这种说法的重要性也许不是一时就看得出来的。要解释这个学说，我不能不先把《数学原理》里关于同一的定义说一说。在一件事物的性质中，怀特海和我判别出一些来，我们称之为“叙述的”。这是和总的性质无关的一些性质。例如，你可以说，“拿破仑是科西加岛人”，或者“拿破仑胖”。这样说的时候，你并不是指集合起来的性质。可是如果你说“拿破仑具有大将的众长”，或者“伊丽沙白女王第一兼具她父亲和祖父的诸种德性，而没有他们的毛病”，你是指总的性质。我们把这样涉及到总体的性质和叙述的作用加以区分，是为避免一些矛盾。我们把“x和y是等同的”的定义说成是指“y具有x的所有的叙述的性质”，并且，在我们的系统里，必然的结果是，y具有x所具有的任何性质，不管是叙述的，还是不是叙述的。对于这一点维根斯坦所持的异议如下：“罗素对于“＝”所下的定义是不行的；因为按照这一个定义来讲，我们不能说两件事物所有的性质都为它们所共有。（即使这个命题一点也不正确，却是含有意思的。）

    “大体上说：说两件东西等同，是没有意义的，说一件东西和其本身等同，等于没有说”（《逻辑哲学论》，5.5302和5.5303）。有一个时候，我接受了这个批评，可是我不久就得到了这样一个结论：他的批评使数理逻辑无法成立，并且事实上维根斯坦的批评是无效的。如果我们考虑到计算，这就格外明显了：如果a和b的一切性质都为它们所共有，你就永远不能提到a而不提到b，或数到a而不同时数到b，不是把b当作单独的一项来数，而是在同一数的动作中来数。所以你就决没有可能发现a和b是两个。维根斯坦的主张是假定不同是一种难以明确的关系，虽然我并不认为他知道他是做此假定。可是如果他不做此假定，我就看不出有什么理由能象他所说：说两件事物的一切性质都为他们所共有，是有意义的。可是如果承认不同是有的，那么，如果a和b是两个，a就有一种为b所没有的性质，那就是，与b不同那么一种性质。所以，我想维根斯坦关于同一的那种主张是错误的。果真如此，那就使他的系统的大部分归于无效。

    请以2这个数的定义为例。我们说一个类有两项，如果这个类有x和y两项，并且x和y并不等同，并且，如果z是这个类的一项，则z和x或y等同。很难使这个定义和维根斯坦的主张相调适，他的主张是要求：我们决不应该用辞句来表示“x＝y”或“x.y”这个式子，而是应该用不同的字母来代表不同的东西，并且决不应该用两个不同的字母来代表同一个东西。除了这种专门技术上的困难之外，显然，由于上面所讲的理由，如果两件东西的一切性质都为二者所共有，则这两件东西就不能算做两个，因为算做两个就不能不把它们区别开，因此也就给了它们以不同的性质。

    还有一个结果，就是，我们不能制造一个为某一组列举的物件所共有和特有的内包。举例来说，假定我们有a、b、c三个物件，那么，和a等同、和b等同、和c等同的那个性质就是一个为这三个物件所共有和特有的性质。但是，在维根斯坦的系统中，这个方法是不合用的。

    还有一点，是非常重要的，就是，维根斯坦对关于世界上一切物的任何陈述都不认可。在《数学原理》里，万物总体的定义是所有那些x们的类，它们是x＝x那样的x们，并且我们可以给这个类指定一个数，（正如可以给任何别的类指定一个数），虽然我们当然不知道用来指定的那个正确的数是什么。维根斯坦对此不予承认。他说象“世界上有三件以上的东西”这样的一个命题是没有意义的。一九一九年我在海牙和他正在讨论《逻辑哲学论》的时候，我面前有一张白纸。我在上面用墨水弄了三个点。我请他承认：既然有这三个点，世界上一定至少有三件东西；但是他坚决拒绝。他倒承认在那张纸上有三个点，因为那是一个有限的断定，但他不承认关于世界总体能有任何陈说。这和他的神秘主义有关系，但是由于他拒绝承认等同，这是不足怪的。

    另有一方面和这同一类问题有关，我称之为“无限公理”。在一个只包含有限数目的东西的世界中，那个数目就是一批东西最大可能有的数目。在这样的一个世界中，所有高级数学就要垮台。世界上究竟有多少东西，在我看来，这纯粹是一个经验上的问题。我不认为一个单纯的逻辑学家关于这个问题应该发表什么意见。因此，所有需要一个无限数目东西的那些数学部分我都当成是假设的。所有这一切在维根斯坦看来都是极其荒谬的。在他看来，你可以问“伦敦有多少人？”或“太阳里有多少分子？”但是推论世界上至少有那个数目那么多的东西，在他看是没有意义的。据我想，他的学说的这一部分肯定是错误的。

    维根斯坦发表了两个原理。这两个原理如其为真，是非常重要的。即，外延性原理和原子性原理。

    外延性原理是说，关于一个p命题的任何陈述的真或伪，完全有赖于p的真或伪；包含一个命题函项的任何陈述的真或伪，完全有赖于这个函项的外延，那就是说，有赖于使这个命题函项之为真的价值范围。从表面来看，对这个论点显然可以有争议。请以“A相信p”为例。显而易见，一个人可以相信一些真命题，而不相信别的命题，所以“A相信p”之真伪并不完全有赖于p的真或伪。关于这一个题目，维根斯坦有一段话，很神秘。他说，“在一般的命题形式中，一些命题只以真伪运算的基础出现在一个命题中。”

    “乍一看来，一个命题出现在另一命题中似乎还有一个不同的方法”。

    “特别是在心理学的一些命题形式中如‘A认为，p正是如此’，或‘A认p为真’，等等。”

    “在这里，从表面上看，好象p这个命题对A这个对象具有一种关系。”

    “〔现代认识论里（罗素、穆尔等）的那些命题就被认为是如此的〕。”

    “但是很清楚，‘A相信p’、‘A认p为真’、‘A说p’是属于‘p说p’的形式；这里我们并没有事实和对象的对等关系，但是有事实之间由于他们的对象的对等关系而有的一种对等关系。”

    “这表明，并没有象当代浅薄的心理学里那种想法的那种东西，如灵魂——主体等”（《逻辑哲学论》，5.54以下）。

    维根斯坦的论点是“A相信p”并不是p的一个函项，而是A用以表示p命题或身体状况的那些字的函项，这种身体状况（不管是什么）构成其相信。他这个人和往常一样，是独断的，他吐露他的意见象沙皇下谕旨一样。但是草野小民对这种办法是难以满意的。我在《对意义与真