勾股定理

    “直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方”，这就是人们通常所说的勾股定理，它是初等几何学中的一个基本定理，有着十分悠久的历史，可说几乎所有的文明古国，不论是古希腊、埃及、巴比伦、印度还是中国，对此定理都有研究。

    西方一般将勾股定理称蜗达哥拉斯定理。相传公元前550年，毕达哥拉斯发现了这一定理，并给出了证明。可惜的是，他的证明方法已散失，现知最早的证明方法出自欧几里德的巨著《几何原理》。

    相比于公元前550年的毕达哥拉斯，中国人早就发现了勾股定理。据成书于公元前1世纪的中国第一部数学著作《周髀算经》记载，早在大禹冶水时期，中国就发现了勾股定理的特例“勾三股四弦五”了。

    《周髀算经》的开头有这样一则趣闻：

    周公问：“窃闻乎大夫善数也，请问古者包牺立周天历度。夫天不可阶而升，地不可得尺寸而度，请问数安从出？”

    商高答：“数之法出于圆方，圆出于方，方出于 矩，矩出九九八十一，故折矩以为勾广三，股修四，径隅五。既方其外，半之一矩，环而共盘。得成三、四、五，两矩共长二十有五，是谓积矩。故禹之所以治天下 者，此数之所由生也。”

    简单概述如下：

    周公问商高：“我听说商大夫您对数学非常精通，想请教古代度量天地的方法：天没有梯子可以登上去，地也没法用尺子去丈量，如何才能得到关于天地的准确数据呢？”

    商高回答说：“数的产生来源于人们对方和圆这些形体的认识。圆形出自于方形，方形又属于矩形，矩形出自九九八十一种变法，如果直角三角形的勾边为3，股边为4，那么斜边一定就是5。这个道理在大禹冶水时就总结出来了，这也就是数的由来。”

    大禹冶水是否已总结了“勾三股四弦五”这一勾股定理的特例，没有史料考证，但这段文字至少说明，我国古代的人民至少在西周初年就已经发现并应用勾股定理这一重要的数学原理了。正因如此，我国也将勾股定理称为商高定理。