均主义的。这些鲁宾逊·克鲁苏将把他们的财富汇积到一起，然后每人从中取走一定比例的份额。在另一极端下，假定财富效用函数是处处上凹的，那么，收入的最优分配明显地将是尽可能地不平等。这些鲁宾逊·克鲁苏将把他们的财富汇积到一起，然后每人得到一张彩券，这种彩券为每人赋予了赢得与总财富价值相等的这唯—一份奖品的同等机会。
我们要分析的一更为有趣、且在实证上更为相关的效用函数是有着这样一种形状的效用函数：这种形状是我与萨维奇为说明风险情况下关于行为的几种简单的、且广为接受的实证概括而提出的。我们所提出的函数最初是下凹的，然后上凹，最后又下凹，如图14·1中的U（W）曲线。
之弦在W点的纵坐标所绘出。从几何图形上看很明显：如果存在着一条与图14.1中的效用函数切于两点的直线，且如果W介于二切点的横坐标（我们可以用W1与W2来表示且W2
。我们将这一预期称作ad（d代表着“双重相切”）。
的更为复杂的预期，都总是可以表示为许多单值或双值的预期（每一预期都有着同样的预期值承）的一种概率组合。所以，这种更为复杂的预期的预期效用，可以被表示为这些单值或双值的预期（这一更为复杂的预期可以分解为这些较简单的预期）的预期效用的期望值，所以，它不可能超出具有最高期望值的这一单值的或双值的分预期的预期效用．结论是：对于由具有图14.1中的效用函数的个人所组成的社会来说，ad是每一成员的最佳预期选择．在我们的种种假设之下，ad也将是实现了的财富分配。
(1)＋
(2)
实现财富W1的概率为与下式相等的一个分数：
(3)
(i)是该个人所贡献的预期财富。所以，最终得到财富W2的机会将按照个人的预期的把握程度而因人而异，但是，所实现的财富的最终分配却是相同的，就好象所有的人都具有同样的预期系列一样。
放弃“所实现的W值（在再分配之前）．在统计上是无关的”这一假设同样不会对这一结论产生很大的影响，尽管这一结论更为复杂了。考虑这样一种极为特殊的情况：在这一情况中，知道某一个人的结果就意味着完全知道所有人的结果。让我们假定：第一，对所有的个人及集合A中的任一a来说W的所有可能值介于W1/与W2之间。那么，不论所采用的活动是什么，事后将存在着某种实际实现了的价值，且前面的分析表明：这些个人将汇集他们的W，并以投机的方式来进行总量的再分配。所以，实现了的财富分配将由两组个人所构成：一组中每一成员都得到W1，而另一组中每一成员都得到W2。只有最终地归于某一组的所有成员的比例取决于实际的结果。事先，在一适当的再分配协议之下，预期效用随预期财富的增加而增加，所以，再一次地。对于所有人来说，最好采用确保最高的预期财富的那种活动。而且再一次地，个人在可得的预期系列方面的差异并不影响最终结果，而只影响到每人所得到的彩券的数量。如果对于集合A来说W的所有可能值并不介于W1与W2之间，那么，具有最高的预期财富值的a可能不再是最佳选择。但是至少下述结论仍然是成立的，即事先协议安排将能够确保：如果实际实现的W（再分配之前）介于W1与W2之间时，那么它将被如此地再分配从而得到价值W1与W2，结果在所有的情况下，最终实现的财富分配将不落在W1与W2之间。
(i)-W1(i)）/（W2(i)-W1(i)），这里，W(i)是该个人所能采用的任一活动所得带来的预期财富的最大值。而且，没有任何东西可以阻止这样一种协议的被采纳：每一个人都采用能确保最大的预期财富的这种活动，向公共积累中贡献所得产品，然后得到一张彩票作为回报，这一彩票赋予他的得到财富W1(i)或W2(i)的机会如上。既然每一张彩票在保险统计上都是“公平的”，那么整个投机也必然是公平的；而且只要Pa(i)（W）能够较好地运行，且W2（i)是有限的，那么，大数法则将依然适用。所以，对于数量足够大的个人来说，这一投机作为一整体来说所存在的不确定性是可以忽略不计的。在这种情况下，实现了的财富分配除取决于最大的预期财富外，还取决于W1(i)与W2(i)的分布情况。偏好方面的差异所具有的影响表现在：将额外的价差引入到偏好一致情况下所实现的财富分配中去，而这一偏差的大小取决于偏好方面的差异程度．正如我们在下一段中所将看到的那样，再分配之成本有着非常相似的作用。
3．社会中的个人涉及耗费的再分配
再分配安排（特别是通过它们对“积极性”的影响）所带来的大量耗费，使得某些在不存在大量耗费的情况下将是理想的安排被排除在外，结果是：为“大自然”所提供的机会种类，即预期的原始集合Pa（W），不仅仅影响着财富分布的均值，而且还影响到了财富分布的形状。这一影响在于产生了某种混合物，它介于第一部分中对与世隔离的个人所作的结论与第二部分中对一个再分配没有耗费的社会中的个人所作的结论之间。
也许，将这两种情况结合起来的最简单的模式就是假定：每一个人所可能采用的活动可以划分为两种相互独立的且无竞争的集合———一种是活动集合As，这些活动的所得是不受再分配的影响的；另一种是活动集合Ar这些活动的所得可以在无耗费的情况下进行再分配。接下来，个人将从每一集合中选择一种活动。再分配之前，个人所实现的财富由二部分所构成Ws
与Wr，而在再分配之后，则由Ws与Wr’所构成，所以，他的最终财富是Ws十Wr’。现在，每一个人所涉及的是Ws十Wr’的概率分布，而不是其中某一个的概率分布。
如果效用函数的形状如图14·1中的U（W），且（为了简便起见）对于所有的个人来说效用函数都是相同的，那么，最优化的再分配安排将是什么呢？现在，实现下述最佳选择已不再可能了：一个具有最高的期望值及适当的概率的双值预期，这一预期或得到W1或得到W2。原因在于，不论采取何种再分配安排，如果我们假定（正如似乎是理想的那样）Wr’不取决于实现了的Ws（尽管它可能取决于预期的Pas（Ws），那么，将无法抵消或避免Ws
所面临的风险。很清楚，来自于Ar的最好选择仍然是具有最高的预期财富的那一个——既然Wr的任一理想的再分配都是可以实现的，那么，使得可供分配的总量尽可能地大并不会带来任何损失。此外，最好对来自于集合As的选择及再分配安排加以调整，从而尽可能地近似于最佳选择。
为了近一步地对最佳再分配安排的某些特殊之点加以探讨，毫无疑问地还需要对集合Pas（Ws）的性质，也许还要对效用函数U（W）的性质作更为严谨的限定，其严谨程度高于到目前为止我们所作过的任何限定；存在着某种Pas（Ws）。它将能证明任何一种再分配安排这似乎并不是不可能的。我并不准备对这一问题作详尽的分析。但是我认为，对于很大一部分函数Pas（Ws）及效用函数U（W）来说，最佳的再分配安排与第二部分中所述的情况是完全一致的，而且，即使预期系列因人而异，这一点仍然是正确的。在进一步分析之前，我将暂时地接受这一看法，并假定：Pas（Ws）及效用函数U（W）具有为使之合理而需具备的这些性质。
这种再分配安排可以被描述为：每一个人贡献某一数额，即在一投机中购买一个份额，然后得到获得某一既定数额的某种特定的机会作为回报，即得到获得某一奖品的某种机会作为回报。每一个人所付出的数额取决于他所实现的Wr及他从集合As中所选择的那一预期——但不取决于所实现了的Ws，因为这将与“Ws是不受再分配的影响的”这一假设相矛盾。如果所有的个人都具有同样的预期集合，那么他们都将选择同种预期，而且人们在所付出的数额方面的差异将仅仅是因为所实现的Wr因人而异。然而，如果人们具有不同的预期集合，那么个人所付出的数额将取决于实现了的Wr，以及人们由集合As中所选取的那一特定的预期；这是因为：这种付出的目的是要在个人没有赢得奖金时仍能大约保持W1的水平。这样一来，与那些所拥有的预期只能确保较小的Ws值的人相比，那些所拥有的预期能确保较大的Ws值的人将保留较少的Wr（或此外还将支付更多）。付出方面的差异将由赢得奖金的机会方面的差异所弥补（即由彩票数量的多少方面的差异来弥补），与前者相比，后者将得到较大的机会。该项奖金的多少对于所有的人来说都是一样的，等于W2-W1。原因在于奖金的目的是使获奖者大约保持在W2的水平上。
在这一再分配安排下，最终实现了的财富分布是两种财富分布的概率总和。集合As中人们所采用的这些活动导致了所实现的Ws的某种财富分布，其准确形式取决于：最佳的特定选择，为不同的个人所实现的Ws之间的相互依赖程度，以及个人之间在可得的预期体系方面的差异。现在，这一分布由为购买彩票所进行的支付所限定。鉴于不同的个人在所作的支付方面的差异被用来抵消可得的预期体系方面的这种差异，所以，它们的作用在于使该分布的重心移到W1，且仅在个人可得的预期体系彼此不同的情况下，减少了该分布的变动性。假定现在投机的格局已定，且赢者与输者已定。这使得这一财富分布分解为两种分布——一种是对赢者而言的，一种是对输者而言的。由于那些具有一般说来较好的预期系列的人有着较大的中奖可能，且由于由一般说来较好的预期系列所实现的财富分布可能系统地不同于由其它预期所实现的财富分布（其区别表现在除均值或决定进入该投机之中的抵消支付的位置参数以外的那些方面），所以，通常说来。这两种分布不一定是完全一样的。现在，对赢者而言的这一分布由对每一赢者的奖金支付（W2-W1）所改变，且最终的分布为对流者而言的分布与对输者而言的分布之和。
为了证明这一点，令D（W）代表对彩票的支付之后但在奖金分配之前所实现的财富的连续型分布；也就是说，D（W）是在这一阶段上，财富小于W的个人的比例。假定在这一阶段上，这一分布独立于该投机的约定支付，从而对于赢者及输者来说这一分布都是相同的。令g代表将赢得奖金的个人的比例，且W’=W2－W1为奖金数额。这样一来，最终的财富分布为：
F（W）＝（1－g）D（W）＋gD（W-W’） （4）
下述说法可能不具有什么明显的意义：这一分布是两种分布之和，而不是一两个随机变量之和的分布。
正如前一部分中所提到的那样，放弃同一偏好假设并不能从根本上改变这些结论．如果在偏好方面存在着某种共性的话，那么，W1与W2的个别值将形成两种大致不同的分布。W1与W2的的这些值中存在的偏差基本上被加到Ws的值中所存在的偏差中去，且对最终分布有着与Ws的值中存在的最初较大的偏差同样的影响。
）；在W2附近，由第二个分布的上升部分所趋于引入的第二个最频值可能被具有较大权数的第一个分布在W1之后的下降所压倒。这样一来，第二个子分布的影响在于使复合分布的最频值稍稍移到了原先第一个分布的最频值的右边，并使复合分布的尾部变平且向外伸展。这一复合分布将显得相当尖耸，在以财富为横轴的正方向上，它的尾部出奇地狭长。现在，“相当的不对称性，广泛的变异性，及极大的尖耸性……成了来自于独立的职业活动的收入的分配特点”，也是来自于其它方面的收入的分配特点，此外也是所观测到的财富分配的特点。而且，这些特点完全是当g较小时，由方程（g）所推导出的这些分布所可能期望具有的性质。所以，我们的理论分析所导出的这一分布函数至少满足了下述最初检验：能够再现所观测到的财富与收入的分布所具有的这些更为显著的特征。
当然，方程（4）与所观测到的财富或收入的分布之间不存在明显的不一致这一事实，并不意味着它与这些分布相一致，或作为其存在基础的模型业已对反映财富或收入的现存分布的那些关键因素作了区分。但是，同这一理论结构的合理性一道，它可能确实证实了这样一种实证研究，为的是观察方程（4）是否实际上充分地反映了财富或收入的现存分布。
4．结论
前述分析是极为尝试性的与极为初级的：它所包含的这些论点还需要进一步的验证；它所考虑伪只是一些高度简化的模型；它还作了这样一种高度简化，即将财富分布视为一单一选择的结果，及这一选择在随机事件的影响之下的必然表现，等等。然而我认为它已足已证明：人们无法排除这样一种可能性，即现实存在的财富不平等的很大一部分可以被看作是人们为满足其兴趣与偏好而造成的．它告诉我们：天赋或继承财富方面的不同与所实现的财富分配方面的不同之间的联系，并不是象人们通常所假定的那么直接与简单，且许多共同的经济与社会安排——从经济企业的组织形式到共同征收及强制实行的所得税与遗产税——可以被理解为（至少部分地是这样）为取得一种与社会成员的兴趣及偏好相一致的财富分配所采用的方法。最后，在关于收入分配及产生这种分配的各种安排的规范性判断方面，它告诉我们：与外部加之于个人的不平等相比，由参加一项投机的精心决策所导致的不平等明显地带来了完全不同的规范性问题。