目前，人们又把注意力投向了关于风险之下选择问题的假说。这种假说是由加布里埃尔·克拉默及丹尼尔·伯努里首先提出的，后又为艾尔弗莱德·马歇尔所探讨。最近，在冯·纽曼及摩根斯坦的推动下，该假说又重新兴盛起来。这种假说是：在这样的风险情况下，个人所作出的选择就好象他们在追求某一数量的预期价值的最大化。如此定义的这一假设数量被称作（特别是在最近）“效用”。如果这一假说在充分广泛的范围内有着适当的合理性的话，那么它对于经济理论的发展将具有深远的影响。该假说为两种经济行为提供了统一的解释，而在此之前，对这两种经济行为的说明一直是沿着两个不同的（基本上是不一致的）方向进行的。第一种行为，即在各种被认为是确定的事物之间进行选择，是通过议题中各种产品的一致性偏好而加以说明的，并通过最高偏好的精心选择而进行。第二种行为，即在各种存在风险的事物中进行选择，是通过定义拙劣的“风险”偏好或“不确定性”偏好而加以说明的。这些“风险”偏好或“不确定性”偏好通常被认为是“非理性的”，因为这些定义中不包含任何简单的、合理的、广泛性的描述，而只能由每一个体的特定情况所决定。此外，预期效用假说具有丰富的、潜在的实证内含。正如我们在别处所证明的那样，对风险情况下的行为所作的几个简单的、广为接受的实证概括，可以被用来对这一假说加以限定，并足以使该假说对我们所要研究的现象具有重大意义，同时使该假说所具有的这些实证意义较少地受到偶然性实证观察的影响。依次地，这些预测将既作为该假说的成果而存在，同时又作为该假说的合理性的进一步验证而存在——如果只有当这些预测得到了实践的证明。
不幸的是，该假说的早期应用中存在的一个双方面的错误，极大地妨碍了人们对该假说的含义、相互关系及作用的一般性理解。第一方面的错误在于这样一种观点：单位的效用数值（坐标原点及单位除外）对于被认为是确定的事物的选择问题所作的分析来说是必要的。第二方面的错误在于这样一种看法：对上述可测效用的预期，必然同样地决定着存在风险的各种事物间的选择。然而，帕累托、斯卢斯基，及最近一些学者发现，这样一种数值效用对于无风险选择之分析来说并不是必要的，而且这一发现被正确地认为是一项重要的理论进步。但是，无风险选择中所推导出的效用测量方法，必然也适用于存在风险的事物之间的选择这一观点的存在，使得人们将注意力从下面这种可能性中转移开来：可能存在着某一函数（这一函数从无风险的选择中是推导不出来的），这一函数的预期值将决定着存在风险的事物间的选择。
基于上述情况，最近重新倡导并重新阐述该假说的学者们，应该努力做到正确、清楚地理解下述问题：该假说是在何种意义上证实了或容许了测量单值（坐标原点及单位除外）对产品及劳务偏好的这一说明。而且，这些重新倡导并重新阐述该假说的学者们还应该为这一计量对象起一个新的名称，以取代“效用”这一名称及这一名称所具有的各种复杂涵义。不幸的是，这些学者们在这两点上一无所为。冯·纽曼及摩根斯坦在重新倡导这一假说，并阐述他们对该假说所作的富有启发性的论证中，没能很好地防止误解，相反，其中的某些未加限定的评述，可能事实上促成了人们的误解。同样。我们自己对该假说与可得的实证证据之间关系的论证，也是不完善的，没能直接地涉及“可测性”问题；实践证明，我们对这一问题的附带说明也不够清楚，而且这些附带说明可能同样地促成了（而不是减少了）误解。
威廉·鲍莫尔最近在政治经济学杂志所作的说明，为通过某种方法来弥补我们早先的错误提供了一个极好的条件．鲍莫尔的说明试图搞清对该假说的肯定或否定所需凭借的依据，及在何种意义上，对该假说的认可证实了或容许了将效用视为“可测的”这一作法。的莫尔的说明完全集中在这些问题上面，并清楚地阐明了对这一从早期关于“可测性”的讨论中自然地引发出来的假说所作的批评。
鲍莫尔对该假说的反对基于下述两个方面：（1）这一“纽曼-摩根斯坦效用结构与个人偏好尺度之间可能是不相容的”。（2）“纽曼-摩根斯坦效用指标可能是“任意的”，而且可能是“毫无道理的”。第一条反对意见提出了这样一种一般性问题：在哪些方面该假说应得到认可或受到否定（第一部分）；第二条反对意见提出的问题是：在何种意义上该假说“使得”效用具有可测性”（第二部分）。
1.该假说得到承认的方面及受到否定的方面
科学的假说的作用就在于使我们得以对尚未观察到的现象加以“预测”，亦即对尚未观察到的现象加以评述。而这些评述（1）是可能与实践相抵触的；（2）事实上却没有被实践所否定。如果对于某些尚未观察到的现象所作的这样评述是不可能与实践发生抵触的，那么这一假说势必空洞天物，从而失去了预测之功效。例如，某人将选择他所选择的东西，这一股说毫无疑问是“正确的”，同样也毫无疑问地是‘空洞的”，这是因为这一假说不可能与实践相抵触。如果对尚未观察到的现象所作的这种评述与实践发生了抵触（与其它假说所作的评述相比，这种评述与实践之间的抵触“时常发生”，或者说更为经常，更为明显地发生。），那么则说明该假说是错误的。可能与这种假说发生抵触的可观察现象的范围越广，该种假说的潜在成果也就越大。这是因为观察范围的愈加广泛等价干预测结果的更为精确。该假说成功地避免与实践相抵触的次数越多，范围越广，则该假说之合理性的可靠程度越大．我们迫切需要的是这样一种假说：它取得了高度精确的预测（亦即极容易出现错误的预测）；它已经被用来作出了许多这样的预测。（亦即它已经多次经历了抵触的考验）；而且它已经取得了绝对“正确的”预测（亦即它已经多次避免了与实践之间可能发生的抵触）。
为在各假说之间进行选择所作的这些极为常见的且过于简化的考察，在此是十分必要的。这是因为，这些考察所蕴含的否决正是人们对预期效用促说所作的批评的核心所在：这一假说受到否定。正是由于它不是“空洞的”，正是由于它可能是错误的。例如，鲍莫尔曾说到，他可以想象出某些将与预期效用假说相抵触的行为，而这些行为并不都是明显地“由疾病所引起”；而且该假说的某些结论“并不是显而易见的”。在某种程度上，鲍莫尔是说仍然性的观察与思考证明了该假说是错误的。因为这一论断旨在说明粗略观察到的实际情况与该假说所作预测相抵触，所以它也是反驳该假说的有关证据。然而，从这些例子段落中我们可以明显地知道，鲍莫尔还提及了另外一些完全不同的方面，而且他认为这些方面作为反驳该假说的论据是同等相关的：他认为，该假说并不是明显地、绝对正确的；将与该假说相抵触的行为是可以想象的（而不是业已观察到的，不论多么地粗略）。从我们前一段的论述中可知，这一特征恰好是一科学假说的优点所在，而不是缺点所在——唯有在要求该假说必须是正确的情况下（亦即是一同义反复的情况下），这一特征才可以成为一条合理的反驳理由。对将与该假说相抵触的行为加以限定的可能性本身，就说明了该假说并不是空洞的。这样的行为并不是明显地“由疾病所引起”，也并不是“显而易见的”，这说明了：该假说（如果是合理的）将使我们得以作出更为准确的预测，而这在该假说不存在的情况下是不可能的。
然而，即使假定预期效用假说是潜在地富有成果的，且对该假说之可接受性的这些反对意见（如我们刚才所引证的那些）是基本上不相关的，我们承认该假说的实证依据又是什么呢？该假说已多次地度过了可能出现的抵触吗？我们有充分的理由去相信该假说将能够避免可能出现的抵触，或将继续避免可能出现的抵触吗？对于这两个问题我们可以作出一个高度肯定且令人满意的回答，但仅此而且。我们的回答是；仅就目前的情况来说，尽管该假说问世已久，但还必须看作是一种富有希望的推测，它的合理性更多地来自于间接证据，前不是它经受了“至关重要的”实践检验这一直接证据。
该假说与实践之一致性方面的许多业已可得的证据，亦即该假说的含义没有被实践所否定方面的许多业已可得的证据，已经在我们早些时候的文章里得到了概括。在那篇文章里。某些这方面的证据被用来对该假说加以根定，同时我们还进一步提出了该假说与实际情况间可能发生的抵触情况，但是，仅就我们所知，到目前为止还没有人对此作过探讨。
由莫斯泰勒及诺治所作的某些近期验证，丰富了我们的观察证据，而且这些证据没能对该假说加以否定。然而，目前可得的这类相对直接的证据，还远不足以使我仍对该假说的合理性确信无疑；充其量是使我们得以对此抱有乐观的态度．
我们认为，该假说的吸引力之真正所在。较少地来自于这些直接证据，而较多地来自于间接证据——这些间接证据使得下述推断成为可能：该假说将能继续避免遭到实践的否定，至少在某些重要方面是这样。该假说与其它经济理论之间的内在一致性，在某种程度上提供了这一间接证据。然而，在更大程度上，这一间接证据是由这样一些基本原理的合理性所提供的：这些基本原理对于该假说的推导来说是充分的；同时它们本身又是可以从该假说中推导出来的，从而是该假说的另一种表述。当我们说这些基本原理比在逻辑上与之等价的这一假说更为合理时，我们的意思是：这些基本原理直接使我们想起了许多易受偶然的实证观察所影响的含义（或来自于该假说的预测）。相对于这些含义所涉及的这一类现象而言，该假说曾多次经历了实践的检验，并已多次避免了可能出现的抵触。说这一证据是“间接的”，是因为提供这一证据的现象，并不是在我们使用这一假说进行预测时所主要关心的那一类现象。该假说在这一类现象上所取得的成功，使得它在另一类现象（并不是毫不相关的）上取得成功成为可能；然而，这并不能作为直接证据，证明该假说在后一种现象上具有同样的可信度。
冯·纽曼与摩根斯坦的重要的最初贡献，完全在于他们通过对该假说所作的证明而提供的这一间接证据。鉴于我们早些时候的文章在对纽曼-摩根斯坦基本原理的解释中所存在的错误（这一错误由鲍莫尔在其注释16中所提及，并因保罗·A·萨缀尔逊的阐述而引起我们的注意）；而且，鉴于我们中的一个（萨维奇）正在对另一种关系下该假说的基本原理问题作进一步的研究，所以，在这里我们有必要对这一基本原理方面的证据重新加以表述。
为了简便起见，让我们假定：对于某一个人来说，选择过程的最终结果将是某些数量有限的可能性中的一个，即集合X{X1，x2,……，xn}中的一个。这些结果xi可以被描述为对于该个人来说可能发生的“收入”。这里的“收入”是最广泛意义上的收入，例如，它可能包括现金收入，一段时期内的一系列现金收入，几揽子货物，在爱情与战争方面的运气等。仅存在一定数量的结果这一假设明显地不具有任何实际意义；从数学上看，这是一个可以去掉的小污点。
该个人可得到的各种情况已预先由一系列可能性分布所构成。任何一种情况（通常叫作一种“预期”，也就是可能性分布f），都是由下列要素所构成：x1将是这一最终结果的可能性f1，x2将是这一最终结果的可能性f2，等等。它可以被解释为这样一种赌博或彩券：对于该个人来说，对于每一来说，得到收入Xi
的可能性是fi。
这些基本原理涉及到了所有可想见的可能性分布f,g,h,……的集合F，而这些可能性分布反映的是前面所定义的固定的有限集合X的分布情况的。当然，对于该个人来说，在任一特定情况下，这些分布并不一定全部可得。F的一个元素f可以用符号f=[f1,f2,…fn]来表示，这里的fi是非负数，且所有的fi之和等于1。
f≤g这一表示方式应读作并解释为：“对于该个人来说，他对f的偏好程度并不大干g”。这意味着如果f与
g是该个人可得的仅有的两种情况的话，那么，他将不会有计划地选择f。
尽管到目前为止找们还没有引入任何原理，然而，在我们业已定义的这一结构中已经存在着一种非常重要的假设，这就是：在存在着一定概率的不确定情况中，这个人的偏好完全由每一可能结果的可能性所决定。但是，在这里这个分析将被忽略过去，这是因为我们都已经形成了这样的印象：这一假设（有所保留地）对效用假说的现时批评是可以接受的。
下列符号规定将使这些基本原理的表述得到简化：如果f=[f1，……，fn]，g＝[g1，……
gn]，且0 ≤α≤l，那么，αf十（1-α）g＝[αf1＋（1－α）g1，…，αfn十（1－α）gn]。很明显，αf+（1－α）g本身就是F的一个元素，且当α=1时，简化为f;或当α
原理 1．对于F中的所有的 f，g，h（不一定要彼此不同）来说，
1．f≤g，或g≤f。
2．如果f≤g，且g≤h，那么f≤h。
原理2．如果对于所有的α值来说，都有αf+（1-α）h≤g，那么f≤g。这里0≤a＜1。
原理3．当 0 ＜α＜
1时，只有当f≤g时才有：αf＋（1－α）h ≤αg＋（1－α）h。
在原理1－3的形式下，效用假说被作为一个定理而严格地寓于其中，即：
定理：存在着这样一些数c，……，cn，只有当∑fici≤∑gici时，f
≤g。
此外，任意二种这样的数列ci与ci’,都可以通过一个等式而联结起来：
ci’i
这里，t＞0，S与t为任意值。
这一定理的证明（即预期效用假说）虽并不困难但却不适于在这里加以表述。相反，即使是该定理的第一部分也已包含了基本原理1－3，这几乎是不言自明的。这也证实了我们早些时候的一个论断。
对于我们来说，重要的问题在于这些基本原理是否可以被预期为与可观测的经济现象充分一致，所以，现在我们将对这三个基本原理—一地加以分析。
第一个基本原理说明，该个人在所有可能的情况上可以被假定为具有一个完整的、一致的（可传递的）排列标准，也就是说，我们可以知道任意两个物体中该个人较偏好哪一个，或是否这两个物体对于该个人来说是无差异的；而且，如果他对f的偏好程度并不大于g，一旦他对g的偏好程度也并不大于h，那么，他对f的偏好程度也不大于h。这些假设及与其有着联系的那些假设已经引起了经济学家的极大关注。人们广泛认为，这些假设具有极大的内在吸引力，且它们与实际情况之间的一致性（尽管是不完善的）对于进一步的科学研究具有极为重要的意义。
第二个基本原理是对连续性所作的一个技术性的假设，尽管这一基本原理并不是完全没有内容的，但说它是一种技术性的假设似乎是可以接受的。例如，该原理说明，如果某人不想过马路，那么，不论马路上的车辆行人多么稀少，即使绝无危险，他也不会去横过马路的。
正是这第三条基本原理，被效用假说的批评者们认为是目的不适当的。但是，我们将证明，这一基本原理已蕴含于一基本原则之中，而且我们认为，基于这一基本原则所具有的直观上的吸引力，该基本原则在有关不确定情况下的合理行为的公理中的确是无可匹敌的。这一基本原则已广为知晓，且得到了广泛的认可。尽管目前英语中尚不存在这一原则的名称，但毫无疑问，希腊语中一定业已对这一原则赋予了名称。
为了在对该原则加以定义之前先对其作个说明，我们假定有这样一位医生，他知道他的病人所患的疾病是这样几种疾病中的一种：对于这些病症中的任何一种来说，这个医生的治疗方法都将是立即卧床休息。我们于是可以断言：在这种情况下，不论这个医生是否可以现在或将来作出准确的诊断，或永远不可能作出准确的诊断，这个医生都应该且将要（除非他搞糊涂了）采取立即卧床休息的治疗方法。
更为抽象地说，假定某人被限制在一对值况a与b中进行选捀，而不知道事实上某一特定事件E已经（或将要）发生。假定基于他的选择及事件E是否确实发生，他将得到下表中4种可能中的一种（这4种可能并一定要完全不同）。
事件
选择
E
非E
a